SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1. Ecuaciones con dos incógnitas.
En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 • 6 - 5 • 1 = 7.
Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.
Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.
Ejemplo:
Tabla de la 1ª Ecuación
Tabla de la 2ª Ecuación
Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1
2. Sistemas de ecuaciones.
Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:
Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.
3. Sistemas equivalentes.
Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.
4. Número de soluciones de un sistema lineal.
4.1. Sistemas sin solución.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:
En este caso, nos dice por una parte que 2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.
4.2. Sistemas con infinitas soluciones.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:
(1) (2)
En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tenemos dos ecuaciones idénticas.
En este caso el sistema se llamará compatible determinado, porque tiene soluciones, pero éstas son infinitas.
5. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.
5.1. Método de sustitución.
Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5º. Se ha obtenido, así, la solución.
5.2. Método de igualación.
Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.
5º. Se ha obtenido así la solución.
5.3. Método de reducción.
Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).
Resumamos los pasos que debemos dar:
1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga).
2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
3º. Se resuelve la ecuación resultante.
4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
5º. Se obtiene, así, la solución.
*Ejercicio resuelto por el método de reducción:
Puesto que el coeficiente de la y en la primera ecuación es doble que en la segunda, multiplicando ésta por 2 se igualarán los coeficientes. Restando, se eliminará esta incógnita.
Multiplicando por -2: ; ahora sumando ambas ecuaciones se obtiene lo siguiente: -7x = -21; x = = 3;
Ahora sustituimos x=3 en cualquiera de las expresiones inciales 3x+4y=9 3•3+4y=9 4y=0 y=0.
6. Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a la expresión ax+by=c.
Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos:
* El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones.
* El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.
* Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes.
ACTIVIDADES RELATIVAS A LA LECCIÓN:
* Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) x+y=2; 2x+3y=5. b) x+y=1; 3x+2y=3 c) 2x+y=5; x+3y=5
d) 2x-y=3; 4x+3y=1 e) x+y=1; 3x-4y=7 f) 5x-y=7; 2x+3y=-4
g) 3x-2y=3; x-3y=-6 h) 5x-y=9; x-y=1 i) 2x-3y=2; x-2y=0
* Resuelve los siguientes problemas.
1. La Cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es dicho número?
2. La edad de María es doble que la edad de Julia. Hace diez años la suma de las edades de las dos era igual a la edad actual de María. ¿Cuál son las edades actuales de María y Julia?
3. Por 560 pesetas se han comprado 6 kg de azúcar de la clase A y dos kg de azúcar de la clase B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 75 ptas. El kg. ¿Cúanto vale el kg de azúcar de la clase A?¿Y el de la clase B?
4. Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 2000 ptas y los vende por 2260 ptas. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10 por 100 y en la venta de la bufanda ganó el 15 por 100?
5. En un colegio, entre chicos y chicas, hay 300 alumnos. Del total asisten a una excursión 155 alumnos. Se sabe que a la excursión han ido el 60 por 100 de los chicos y el 40 por 100 de las chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en el colegio?
6. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
7. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos conejos y cuantas gallinas hay en el corral?
8. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace diez años la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?
9. La suma de dos números es 12 y su cociente es 3. Halla estos números.
10. Un padre desea repartir entre sus hijos una cantidad de 10.000 pesetas. Al hijo mayor le quiere dar 2000 pesetas más que al pequeño. ¿Cuánto corresponderá a cada hijo?.
INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA
Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .
Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.
Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.
Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.
Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el • para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
Así:
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.
PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.
Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: primitivas de una función
Encontrar tres primitivas de la función cos x.
Resolución:
• Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
• Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar
a C.
Tercera propiedad
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
• Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
Resolución:
Por consiguiente,
Resolución:
INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
Resolución:
• Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.
Resolución:
Resolución:
• Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,
Por tanto,
Resolución:
• Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.
Resolución:
• Hay que probar la certeza de la igualdad
Basta demostrar que la derivada de la función
cociente,
Así,
Se concluye que
Por consiguiente,
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )
Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
• Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
Demostración:
Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de
f(x) - g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)
Por tanto,
Análogamente,
• Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,
Demostración:
Pero (k • F(x))' = k • F'(x) = k • f(x), lo que indica que k • F(x) es una primitiva de
k • f(x). Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición
Resolución:
son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.
En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.
Así,
Por consiguiente,
Resolución:
= - cos x - 3 In |cos x| + C
Resolución:
• Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:
• Así,
Resolución:
(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)
• Aplicando la propiedad distributiva del producto:
• Entonces,
Resolución:
• Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:
• Por tanto,
Resolución:
Integración por cambio de variable (o sustitución)
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x u(x) u(x)m , la regla de la cadena
Por tanto,
Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
Resolución:
Resolución:
• Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se
por la constante (en este caso 2) que falta.
Resolución:
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 3:
Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de
Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 6:
Resolución:
Por tanto,
La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función
u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) • u' ( x ).
Por consiguiente,
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II )
Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable
Resolución:
• En primer lugar se saca de la integral la constante 5.
• Se multiplica y se divide por 3:
Resolución:
• Se multiplica y se divide por - 1.
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 2:
Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que
La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es
u' • sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' • cos u.
Así se tienen
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
La primera de ellas significa sen (x • x • x), mientras que la segunda es (sen x) • (sen x) • (sen x).
• Se saca el factor 5 de la integral.
• Se multiplica y se divide por 3.
• Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
• Se saca de la integral la constante 13.
• Se multiplica y se divide por 50:
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 3.
Resolución:
• Se extrae la constante 3 de la integral.
Por la derivada de un cociente,
Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' • sec u • tg u. Análogamente, la derivada de la función - cosec u es u' • cosec u • cotg u. Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
•Se multiplica y se divide por 2:
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 2:
Resolución:
• De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:
Resolución:
• Se multiplica y se divide por 3:
Resolución:
• Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.
La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.
Resolución:
• Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:
• Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se
Resolución:
lugar a una integral del tercer caso:
Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.
• De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( III )
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
• Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6x2 - 1 de forma adecuada: 6x2 - 1 = ( x)2 - 1
Resolución:
• Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.
• Se multiplica y se divide por 5.
Resolución:
• Transformando adecuadamente 4 - x2, esta integral es del cuarto tipo:
Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.
se hace uso del cambio de variable, x = a • sen t.
Diferenciando, dx = a • cos t dt.
Así,
Por trigonometría se sabe que:
En consecuencia,
Recordando que sen 2 t = 2 sen t • cos t,
Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
• Cambio de variable:
x = 3 sen t
dx = 3 cos t dt
• Se deshace el cambio:
Resolución:
• En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:
